Division euclidienne par 14 - Corrigé

Énoncé

Soit \(a\) , \(b \in \mathbb{Z}\) tels que \(a \equiv 11 \ [14]\) et \(a \equiv b \ [322]\) . Déterminer le reste de la division euclidienne de \(b\) par \(14\) .

Solution

Traduisons les deux informations données :

• \(a \equiv 11 \ [14]\) signifie qu'il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(a=11+14k\) ;
• \(a \equiv b \ [322]\) signifie qu'il existe \(k' \in \mathbb{Z}\) tel que \(a=b+322k'\) .
  

On a alors :
\(\begin{align*}11+14k=b+322k'& \ \ \Longleftrightarrow \ \ b=11+14k-322k'\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ b=14(k-23k')+11\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ b=14q+11\end{align*}\)  
avec \(q=k-23k' \in \mathbb{Z}\) et \(0 \leqslant 11<14\) , donc le reste dans la division euclidienne de \(b\) par \(14\) vaut \(11\) .