Division euclidienne par 14 - Corrigé

Énoncé

Soit $a$ , $b\in \mathbb{Z}$ tels que $a\equiv 11[14]$ et $a\equiv b[322]$ . Déterminer le reste de la division euclidienne de $b$ par $14$ .

Solution

Traduisons les deux informations données :

• $a\equiv 11[14]$ signifie qu'il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $a=11+14k$ ;
• $a\equiv b[322]$ signifie qu'il existe $k^{\prime }\in \mathbb{Z}$ tel que $a=b+322k^{\prime }$ .
  

On a alors :
$\begin{array}{rl}11+14k=b+322k^{\prime }& ⟺b=11+14k-322k^{\prime }\\ & ⟺b=14(k-23k^{\prime })+11\\ & ⟺b=14q+11\end{array}$  
avec $q=k-23k^{\prime }\in \mathbb{Z}$ et $0⩽11<14$ , donc le reste dans la division euclidienne de $b$ par $14$ vaut $11$ .